Закон збереження імпульсу. Реактивний рух


Замкнута система тіл

Це система тіл, які взаємодіють тільки один з одним. Немає зовнішніх сил взаємодії.

В реальному світі такої системи не може бути, немає можливості прибрати всяку зовнішню взаємодію. Замкнута система тіл – це фізична модель, як і матеріальна точка. Це модель системи тіл, які нібито взаємодіють тільки один з одним, зовнішні сили не беруться до уваги, ними нехтують.

Закон збереження імпулсу

У замкненій системі тіл векторна сума імпульсів тіл не змінюється при взаємодії тел. Якщо імпульс тіла збільшився, то це означає, що у якогось іншого тіла (або декількох тіл) в цей момент імпульс зменшився рівно на таку ж величину.

Розглянемо такий приклад. Дівчинка і хлопчик катається на ковзанах. Замкнута система тіл – дівчинка і хлопчик (тертям та іншими зовнішніми силами нехтуємо). Дівчинка стоїть на місці, її імпульс дорівнює нулю, так як швидкість нульова (див. формулу імпульсу тіла). Після того як хлопчик, що рухається з деякою швидкістю, зіткнеться з дівчинкою, вона теж почне рухатися. Тепер її тіло володіє імпульсом. Чисельне значення імпульсу дівчинки рівно таке ж, на скільки зменшився після зіткнення імпульс хлопчика.

Одне тіло масою 20кг рухається зі швидкістю v=2 м/с, друге тіло масою 4кг рухається в тому ж напрямку зі швидкістю 1 м/с. Чому дорівнюють імпульси кожного тіла. Чому дорівнює імпульс системи?

Імпульс системи тіл – це векторна сума імпульсів всіх тіл, що входять в систему. У нашому прикладі, це сума двох векторів (так як розглядаються два тіла), які спрямовані в один бік, тому

Зараз обчислимо імпульс системи тіл з попереднього прикладу, якщо друге тіло рухається в зворотному напрямку.

Так як тіла рухаються в протилежних напрямках, отримуємо векторну суму імпульсів різноспрямованих.

Реактивний рух

В даному розділі ми будемо розглядати рух тіл змінної маси. Такий вид руху часто зустрічається в природі і в технічних системах. В якості прикладів можна згадати:

  • Падіння краплі яка випаровується;
  • Переміщення талого айсберга по поверхні океану;
  • Рух кальмара або медузи;
  • Політ ракети.

Нижче ми виведемо просте диференціальне рівняння, що описує рух тіла змінної маси, розглядаючи політ ракети.

Диференціальне рівняння реактивного руху

Реактивний рух заснований на третьому законі Ньютона, згідно з яким “сила дії дорівнює по модулю і протилежна по напряму силі протидії”. Гарячі гази, вириваючись з сопла ракети, утворюють силу дії. Сила реакції, що діє в протилежному напрямку, називається силою тяги. Ця сила забезпечує прискорення ракети.

Нехай початкова маса ракети дорівнює m, а її початкова швидкість становить v. Через деякий час dt маса ракети зменшиться на величину dm в результаті згоряння палива. Це призведе до збільшення швидкості ракети на dv. Застосуємо закон збереження імпульсу до системи “ракета + потік газу”. У початковий момент часу імпульс системи дорівнює mv. Через малий час dt імпульс ракети буде становити:

p1=(m−dm)(v+dv)
,

а імпульс, пов’язаний з вихлопними газами, в системі координат відносно Землі буде рівним

p2=dm(v−u)
,

де u − швидкість витікання газів відносно Землі. Тут ми врахували, що швидкість витікання газів спрямована в бік, протилежний швидкості руху ракети (малюнок 1). Тому, перед u поставлений знак “мінус”.

У відповідності з законом про збереження повного імпульсу системи, можна записати:

p=p1+p2,⇒mv=(m−dm)(v+dv)+dm(v−u)
.

реактивний рух

Малюнок 1. Реактивний рух

Перетворюючи дане рівняння, отримуємо:

mv=mvvdm+mdv−dmdv+vdm−udm.

В останньому рівнянні доданком можна знехтувати dmdv, розглядаючи малі зміни цих величин.
В результаті рівняння запишеться у вигляді

mdv=udm
.

Розділимо обидві частини на dt, щоб перетворити рівняння у форму другого закону Ньютона:

m(dv/dt)=u(dm/dt)
.

Дане рівняння називається диференціальним рівнянням реактивного руху. Права частина рівняння являє собою силу тяги T:

T=u(dm/dt)
.

З отриманої формули видно, що силя тяги пропорційна швидкості витікання газів і швидкості згоряння палива. Звичайно, це диференціальне рівняння описує ідеальний випадок. Воно не враховує силу тяжіння і аеродинамічну силу. Їх облік призводить до значного ускладнення диференціального рівняння.

Формула Ціолковського

Якщо ми проінтегруємо виведене вище диференціальне рівняння, то отримаємо залежність швидкості ракети від маси згорілого палива. Результуюча формула називається ідеальним рівнянням реактивного руху або формулою Ціолковського, який вивів її у 1897 році.

Щоб отримати зазначену формулу, зручно переписати диференціальне рівняння в наступному вигляді:

mdv=udm
.

Відокремлюючи змінні та інтегруючи, знаходимо:

Зауважимо, що dm позначає зменшення маси. Тому, візьмемо прирощення dm з від’ємним знаком. В результаті, рівняння приймає вигляд:

де v0 і v1 − початкова і кінцева швидкість ракети, а m0 і m1 − початкова та кінцева маса ракети, відповідно.

Вважаючи v0=0, отримаємо формулу, виведену Ціолковським:

Ця формула визначає швидкість ракети в залежності від зміни її маси по мірі згорання палива. З допомогою цієї формули можна грубо оцінити запас палива, необхідний для прискорення ракети до певної швидкості.

Головне запам’ятати
1) Що таке замкнута система тіл;
2) Закон збереження імпульсу та його застосування;
3) Диференціальне рівняння реактивного руху;
4) Рівняння Ціолковського;