Вимушені коливання. Резонанс. Автоколивання


Вимушені коливання

Як нам відомо, вільні коливання затухають за певний час. Але найбільш важливе значення мають незатухаючі коливання, — ті, які можуть тривати необмежено довго.

Найпростіший спосіб збудження незатухающих коливань полягає в тому, що на систему впливають зовнішньіми періодичними силамии. Такі коливання називаються вимушеними.

Робота зовнішньої сили над системою забезпечує приплив енергії до системи ззовні. Приплив енергії не дає коливань згаснути, незважаючи на дію сил тертя.

Особливий інтерес представляють вимушені коливання в системі, здатної здійснювати майже вільні коливання. З цим випадком знайомі всі, кому доводилося розгойдувати дитину на гойдалках.

Гойдалка — це маятник, тобто коливальна система з певною власною частотою. Відхилити гойдалку на більший кут від положення рівноваги з допомогою постійної в часі невеликої сили неможливо. Не вдається розгойдати гойдалку і в тому випадку, якщо її безладно підштовхувати в різні сторони. Однак, якщо почати в правильному ритмі підштовхувати гойдалку вперед кожен раз, коли вони вирівняеться з нами, то можна і без великої напруги розкачати їх дуже сильно. Правда, для цього буде потрібно якийсь час. Кожен поштовх сам по собі може бути незначним. Після першого поштовху гойдалка буде здійснювати лише дуже малі коливання. Але якщо темп цих коливань і зовнішніх поштовхів один і той же, то другий поштовх буде своєчасним і підсилить дію першого. Третій посилить коливання ще більше і т. д. Відбудеться накопичення результатів дії окремих поштовхів, і амплітуда коливань гойдалок стане великою. Між тим якщо окремі поштовхи слідують один за одним невлад, то дія буде знищуватися дією наступного, і помітного ефекту не буде.

Ось ця можливість значного збільшення амплітуди коливань системи, здатної здійснювати майже вільні коливання, при співпаданні частоти зовнішньої періодичної сили з власною частотою коливальної системи і представляє особливий інтерес.

Вимушені коливання кульки, прикріпленої до пружини. Розглянемо вимушені коливання в системі, що володіє власною частотою коливань. Замість маятника зручніше взяти кульку, прикріплену до пружини. Нехай кінець однієї з пружин буде прикріплений до нитки, перекинутої через блок (рис. 3.12), а нитка з’єднана зі стерженьком на диску. Якщо обертати диск за допомогою електродвигуна, то на кульку почне діяти зовнішня періодична сила.

Поступово кулька почне розгойдуватися. При цьому амплітуда коливань буде наростати. Через деякий час коливання набудуть сталий характер: їх амплітуда перестане змінюватися з часом. Причому можна виявити, що частота коливань кульки[1] дорівнює частоті коливань кінця А пружини, тобто частоті зміни зовнішньої сили. (Ця частота дорівнює числу обертів диска в секунду.)

    [1] Частоту вимушених коливань будемо позначати буквою о (на відміну від частоти власних коливань системи ω0).

При сталих вимушених коливаннях частота коливань завжди дорівнює частоті зовнішньої періодично діючої сили.

Резонанс

Користуючись установкою, зображеною на малюнку 3.12, з’ясуємо, як амплітуда сталих вимушених коливань залежить від частоти зовнішньої сили. Плавно збільшуючи частоту зовнішньої сили, ми помітимо, що амплітуда коливань поступово зростає. Вона досягає максимуму, коли зовнішня сила діє в такт з вільними коливаннями кульки.

При подальшому збільшенні частоти амплітуда сталих коливань зменшується. Залежність амплітуди коливань від частоти зображена на рисунку 3.13. При дуже великих частотах зовнішньої сили амплітуда вимушених коливань прагне до нуля зі зростанням частоти, так як тіло, внаслідок своєї інертності, не встигає помітно зміщуватися за малі проміжки часу і «тремтить на місці».

Різке зростання амплітуди вимушених коливань при співпаданні частоти зміни зовнішньої сили, яка діє на систему, з частотою її вільних коливань, називається резонансом (від латинського слова resonans — дає відгомін).

Чому виникає резонанс? Пояснити це явище можна з енергетичних позицій.

При резонансі амплітуда вимушених коливань максимальна через те, що створюються найбільш сприятливі умови для передачі енергії від зовнішнього джерела періодичної сили до системи. Зовнішня сила при резонансі діє в такт з вільними коливаннями. Протягом усього періоду її напрямок співпадає з напрямком швидкості коливного тіла. Тому протягом всього періоду ця сила робить тільки додатну роботу. При усталених коливаннях додатня робота зовнішньої сили дорівнює за модулем від’ємній роботі сили опору.

Якщо частота зовнішньої сили не дорівнює власній частоті с0 коливань системи, то зовнішня сила лише протягом частини періоду робить додатню роботу. Протягом іншої частини періоду напрям сили протилежно напрямку швидкості, і робота зовнішньої сили буде від’ємною. В цілому робота зовнішньої сили за період невелика і відповідно невелика і амплітуда сталих коливань. Істотний вплив на резонанс надає тертя в системі. При резонансі додатна робота зовнішньої сили цілком йде на покриття витрат енергії за рахунок від’ємної роботи сили опору. Тому чим менше коефіцієнт тертя, тим більше амплітуда сталих коливань.

Зміна амплітуди вимушених коливань в залежності від частоти при різних коефіцієнтах тертя та однієї і тієї ж амплітуди зовнішньої сили зображено на рисунку 3.14. Кривій 1 відповідає мінімальне тертя, а кривій 3 — максимальне. На цьому малюнку добре видно, що зростання амплітуди вимушених коливань при резонансі виражено тим виразніше, чим менше тертя в системі.

При малому терті резонанс «гострий», а при великому «тупий». Якщо частота коливань далека від резонансної, то амплітуда коливань мала і майже не залежить від сили опору в системі.

В системі з малим тертям амплітуда коливань при резонансі може бути дуже великою навіть у тому випадку, коли зовнішня сила мала. Але більша амплітуда встановлюється тільки через тривалий час після початку дії зовнішньої сили. В відповідності з законом збереження енергії викликати в системі коливання з великою амплітудою, а отже, надати системі велику енергію невеликою зовнішньою силою можна тільки за тривалий час. Якщо тертя велике, то амплітуда коливань буде невеликою, і для встановлення коливань не буде потрібно багато часу.

Про резонанс можна говорити, якщо загасання вільних коливань у системі досить мало. Інакше амплітуда вимушених коливань при ω = ω0 буде мало відрізнятися від амплітуди коливань при інших частотах.