Вільні коливання. Пружинний маятник


Вільні коливання

Рух, при якому стан руху тіла з плином часу повторюється, причому тіло проходить через положення стійкої рівноваги по черзі в протилежних напрямках, називають механічним коливальним рухом.

Якщо стан руху тіла повторюється через певні проміжки часу, то коливання є періодичними. Фізичну систему (тіло), в якій при відхиленні від положення рівноваги виникають і існують коливання, називають коливальною системою.

Коливальний процес у системі може відбуватися під дією як зовнішніх, так і внутрішніх сил.

Коливання, що відбуваються в системі під дією внутрішніх сил, називаються вільними.

Для того щоб у системі виникли вільні коливання, необхідно:

  1. Наявність положення стійкої рівноваги системи. Так, вільні коливання виникнуть у системі, зображеній на рисунку 1, а; у випадках б і вони не виникнуть.

    Рівновага системи

    Рис. 1. Рівновага системи

  2. Наявність у матеріальної точки надмірної механічної енергії в порівнянні з її енергією в положенні стійкої рівноваги. Так, у системі (рис. 1, а) треба, наприклад, тіло вивести з положення рівноваги: тобто надати надлишок потенціальної енергії.
  3. Дія на матеріальну точку повертаючої сили, тобто сили, завжди спрямованої до положення рівноваги. У системі, зображеній на рис. 1, а, повертаючою силою є рівнодіюча сила тяжіння і сила нормальної реакції опори .
  4. В ідеальних коливальних системах сили тертя відсутні, і коливання якы виникли можуть тривати довго. В реальних умовах коливання відбуваються при наявності сил опору. Щоб коливання виникло і тривало, надлишкова енергія, отримана матеріальною точкою при зміщенні з положення стійкої рівноваги, не повинна бути повністю розтраченою на подолання опору при поверненні в це положення.

Пружинний маятник

Пружинний маятник — це коливальна система, що складається з матеріальної точки масою т і пружини. Розглянемо горизонтальний пружинний маятник (рис. 2, а). Він являє собою масивне тіло, просвердле посередині і надіте на горизонтальний стержень, вздовж якого воно може ковзати без тертя (ідеальна коливальна система). Стрижень закріплений між двома вертикальними опорами. До тіла одним кінцем прикріплена невагома пружина. Інший її кінець закріплений на опорі, яка в найпростішому випадку перебуває в спокої відносно інерціальної системи відліку, в якій відбуваються коливання маятника. На початку пружина не деформована, і тіло знаходиться в положенні рівноваги С. Якщо, розтягнувши або стиснувши пружину, вивести тіло зі стану рівноваги, то з боку деформованої пружини на нього почне діяти сила пружності, яка завжди спрямована до положення рівноваги.

Нехай ми стиснули пружину, перемістивши тіло в положення А, і відпустили (v0 = 0). Під дією сили пружності воно стане рухатися прискорено. При цьому в положенні А на тіло діє максимальна сила пружності, так як тут абсолютне подовження xm пружини найбільше. Отже, в цьому положенні максимальне прискорення. При русі тіла до положення рівноваги абсолютне подовження пружини зменшується, а отже, зменшується прискорення, яке надалося силою пружності. Але так як прискорення при даному русі співнаправлене зі швидкістю, то швидкість маятника збільшується і в положенні рівноваги вона буде максимальна.

Досягнувши положення рівноваги, тіло не зупиниться (хоча в цьому положенні пружина не деформована, і сила пружності дорівнює нулю), а володіючи швидкістю, буде по інерції рухатися далі, розтягуючи пружину. Сила пружності яка виникає при цьому спрямована тепер проти руху тіла і гальмує його. В точці D швидкість тіла виявиться рівною нулю, а прискорення максимальним, тіло на мить зупиниться, після чого під дією сили пружності почне рухатися у зворотний бік, до положення рівноваги. Знову пройшовши його за інерцією, тіло, стискаючи пружину і сповільнюючи рух, дійде до точки А (так як тертя відсутнє), тобто здійснить повне коливання. Після цього рух тіла буде повторюватися в описаній послідовності. Отже, причинами вільних коливань пружинного маятника є дія сили пружності, що виникає при деформації пружини, і інертність тіла.

пружинний маятник

Рис. 2. Пружинний маятник

За законом Гука Fx = -kx. За другим законом Ньютона Fx = max. Отже, max = -kx. Звідси

— динамічне рівняння руху пружинного маятника.

Бачимо, що прискорення прямопропорційне зміщенню й протилежно йому направлено. Порівнюючи отримане рівняння з рівнянням гармонічних коливань , бачимо, що пружинний маятник здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою

— період коливань пружинного маятника.

За цією ж формулою можна розраховувати і період коливань вертикального пружинного маятника (рис. 2. б). Дійсно, у положенні рівноваги завдяки дії сили тяжіння пружина вже розтягнута на деяку величину x0, яка визначається співвідношенням mg = kx0. При зміщення маятника з положення рівноваги O на х проекція сили пружності

і за другим законом Ньютона

Підставляючи сюди значення kx0 = mg, отримаємо рівняння руху маятника

яке збігається з рівнянням руху горизонтального маятника.