Вільні коливання. Математичний маятник

Вільні коливання

Математичний маятник

Математичним маятником називають матеріальну точку, підвішену на невагомій і нерозтяжній нитці, яка закріплена до підвісу і перебуває в полі сили тяжіння (або іншої сили).

Дослідимо коливання математичного маятника в інерціальній системі відліку, відносно якої точка його підвісу знаходиться у спокої або рухається рівномірно прямолінійно. Силою опору повітря будемо нехтувати (ідеальний математичний маятник). Спочатку маятник спочиває в положенні рівноваги С. При цьому діючі на нього сила тяжіння сила тяжіння і сила пружності Fпр нитки взаємно компенсуються.

Виведемо маятник з положення рівноваги (відхиливши його, наприклад, у положення А) і відпустимо без початкової швидкості (рис. 1). У цьому випадку сили сила тяжіння і сила пружності не врівноважують одна одну. Тангенціальна складова сили тяжіння , діючи на маятник, надає йому тангенціальне прискорення aт не врівноважують одна одну. Тангенціальна складова сили тяжіння є, таким чином, повертаючою силою. Нормальна складова сила пружності не врівноважують одна одну. Тангенціальна складова сили тяжіння сили тяжіння спрямована вздовж нитки проти сили пружності сила пружності. Рівнодійна сил і надає маятнику нормальне прискорення an

 

Рис. 1

Чим ближче підходить маятник до положення рівноваги, тим менше стає значення тангенціальної складової. В положенні рівноваги вона дорівнює нулю, а швидкість досягає максимального значення, і маятник рухається за інерцією далі, піднімаючись по дузі вгору. При цьому складова направлена проти швидкості. Із збільшенням кута відхилення модуль сили збільшується, а модуль швидкості зменшується і в точці D швидкість маятника стає рівною нулю. Маятник на мить зупиняється, а потім починає рухатися у зворотному напрямку до положення рівноваги. Знову пройшовши його за інерцією, маятник, сповільнюючи рух, дійде до точки А (тертя відсутнє), тобто здійснить повне коливання. Після цього рух маятника буде повторюватися по вже описаній послідовності.

Отримаємо рівняння, що описує вільні коливання математичного маятника.

Нехай маятник в даний момент часу знаходиться в точці В. Його зміщення S від положення рівноваги в цей момент дорівнює довжині дуги СВ (тобто S = |СВ|). Позначимо довжину нитки підвісу l, а масу маятника — m.

З малюнка 1 видно, що , де . При малих кутах () відхилення маятника , тому

Знак мінус у цій формулі ставлять тому, що тангенціальна складова сили тяжіння спрямована до положення рівноваги, а зміщення відраховують від положення рівноваги.

Згідно з другим законом Ньютона . Спроектуємо векторні величини цього рівняння на напрямок дотичної до траєкторії руху математичного маятника

З цих рівнянь, отримаємо

динамічне рівняння руху математичного маятника. Тангенціальне прискорення математичного маятника пропорційне його зміщенню та направлено до положення рівноваги. Це рівняння можна записати у виді

Порівнюючи його з рівнянням гармонічних коливань , можна зробити висновок, що математичний маятник здійснює гармонічні коливання. А так як розглянуті коливання маятника відбувалися під дією внутрішніх сил, то це були вільні коливання маятника. Отже, вільні коливання математичного маятника при малих відхиленнях є гармонічними.

Позначимо

— циклічна частота коливань маятника.

Період коливань маятника . Отже,

Цей вираз називають формулою Гюйгенса. Вона визначає період вільних коливань математичного маятника. З формули випливає, що при малих кутах відхилення від положення рівноваги період коливань математичного маятника:

  1. не залежить від його маси та амплітуди коливань;
  2. пропорційний кореню квадратному з довжини маятника і обернено пропорційний кореню квадратному з прискорення вільного падіння.

Це узгоджується з експериментальними законами малих коливань математичного маятника, які були відкриті Г. Галілеєм.

Підкреслимо, що цю формулу можна використовувати для розрахунку періоду при одночасному виконанні двох умов:

  1. коливання маятника повинні бути малими;
  2. точка підвісу маятника має спочивати або рухатися рівномірно прямолінійно відносно інерціальної системи відліку, в якій він знаходиться.

Якщо точка підвісу математичного маятника рухається з прискоренням при цьому змінюється сила натягу нитки, що призводить до зміни повертаючою сили, а отже, частоти та періоду коливань. Як показують розрахунки, період коливань маятника в цьому випадку можна розрахувати за формулою

— “ефективне” прискорення маятника в неінерційній системі відліку. Воно дорівнює геометричній сумі прискорення вільного падіння вектора, протилежного вектору , тобто його можна розрахувати за формулою