Траєкторія і вектор переміщення

Траєкторія

Траєкторія (від пізньолатинського trajectories – стосовний до переміщення) – це лінія, по якій рухається тіло (матеріальна точка). Траєкторія руху може бути прямою (тіло переміщується в одному напрямку) і криволінійною, тобто механічний рух може бути прямолінійним і криволінійним.Траєкторія та переміщення

Траєкторія прямолінійного руху у цій системі координат – це пряма лінія. Наприклад, можна вважати, що траєкторія руху автомобіля по рівній дорозі без поворотів є прямолінійною.

Криволінійний рух – це рух тіл по колу, еліпсу, параболі або гіперболі. Приклад криволінійного руху – рух точки на колесі рухомого автомобіля або рух автомобіля в повороті.

Рух може бути складним. Наприклад, траєкторія руху тіла на початку шляху може бути прямолінійною, потім криволінійною. Наприклад, автомобіль на початку шляху рухається по прямій дорозі, а потім дорога починає “петляти” і автомобіль починає криволінійний рух.

Шлях

Шлях – це довжина траєкторії. Шлях є скалярною величиною і у міжнародній системі одиниць СІ вимірюється в метрах (м). Розрахунок шляху виконується у багатьох задачах з фізики. Деякі приклади будуть розглянуті далі на нашому сайті.

Вектор переміщення

Вектор переміщення (або простопереміщення) – це спрямований відрізок прямої, що сполучає початкове положення тіла з його подальшим положенням (рис. 1.1). Переміщення – величина векторна. Вектор переміщення спрямований від початкової точки руху до кінцевої.

Модуль вектора переміщення (тобто довжина відрізка, який з’єднує початкову і кінцеву точки руху) може дорівнювати пройденому шляху або бути менше пройденого шляху. Але ніколи модуль вектора переміщення не може бути більше пройденого шляху.

Модуль вектора переміщення дорівнює пройденому шляху, коли шлях співпадає з траєкторією, наприклад, якщо з точки А в точку Б автомобіль переміщається по прямій дорозі. Модуль вектора переміщення менше пройденого шляху, коли матеріальна точка рухається по криволінійної траєкторії.

Ще приклад. Якщо автомобіль проїде по колу один раз, то вийде, що точка початку руху співпаде з точкою кінця руху і тоді вектор переміщення буде дорівнює нулю, а пройдений шлях дорівнює довжині кола. Таким чином, шлях і переміщення – це два різних поняття.

Правило додавання векторів

Вектори переміщень складаються геометрично за правилом додавання векторів (правило трикутника або правило паралелограма, див. рис. 1.2).

Додавання векторів переміщень
Рис. 1.2. Додавання векторів переміщень.

На рис 1.2 показані правила додавання векторів S1 і S2:

а) Складання за правилом трикутника
б) Складання за правилом паралелограма

Проекції вектора переміщення

При вирішенні задач з фізики часто використовують проекції вектора переміщення на координатні осі. Проекції вектора переміщення на координатні осі можуть бути виражені через різниці координат кінця та початку. Наприклад, якщо матеріальна точка перемістилася з точки А в точку В, то при цьому вектор переміщення (рис. 1.3).

Виберемо вісь ОХ так, щоб вектор лежав з цією віссю в одній площині. Опустимо перпендикуляри з точок А і В (з початкової та кінцевої точок вектора переміщення) до перетину з віссю ОХ. Таким чином ми отримаємо проекції точок А і В на вісь Х. Позначимо проекції точок А та В відповідно Ax і Bx. Довжина відрізка АxBx на осі ОХ – це і є проекція вектора переміщення на вісь ОХ, тобто Sx = AxBx

Нагадую для тих, хто не дуже добре знає математику: не плутайте вектор з проекцією вектора на яку-небудь вісь (наприклад, Sx). Вектор завжди позначається буквою або декількома буквами, над якими знаходиться стрілка. У деяких електронних документах стрілку не ставлять, так як це може викликати труднощі при створенні електронного документа. У таких випадках орієнтуйтеся на зміст статті, де поряд з літерою може бути написано слово «вектор» або яким-небудь іншим способом вам вказують на те, що це саме вектор, а не просто відрізок.

Проекція вектора переміщення
Рис. 1.3. Проекція вектора переміщення.

Проекція вектора переміщення на вісь ОХ дорівнює різниці координат кінця та початку вектора, тобто

Sx = x – x0

Аналогічно визначаються і записуються проекції вектора переміщення на осі OY і OZ:

Sy = y – y0
Sz = z - z0

Тут x0, y0, z0 – початкові координати, або координати початкового положення тіла (матеріальної точки); x, y, z – кінцеві координати, або координати наступного положення тіла (матеріальної точки).

Проекція вектора переміщення вважається позитивною, якщо напрям вектора і напрямок координатної осі збігаються (як на рис 1.3). Якщо напрямок вектора і напрямок координатної осі не збігаються (протилежні), то проекція вектора негативна (рис. 1.4).

Якщо вектор переміщення паралельний осі, то модуль його проекції дорівнює модулю самого Вектора. Якщо вектор переміщення перпендикулярний осі, то модуль його проекції дорівнює нулю (рис. 1.4).

Модулі проекції вектора переміщення
Рис. 1.4. Модулі проекції вектора переміщення.

Різниця між наступним і початковим значенням якої-небудь величини називається зміною цієї величини. Тобто проекція вектора переміщення на координатну вісь дорівнює зміні відповідної координати. Наприклад, для випадку, коли тіло переміщується перпендикулярно осі Х (рис. 1.4) виходить, що відносно осі Х тіло НЕ ПЕРЕМІЩУЄТЬСЯ. Тобто переміщення тіла по осі Х дорівнює нулю.

Розглянемо приклад руху тіла на площині. Початкове положення тіла – точка А з координатами х0 і y0, тобто А(х0, y0). Кінцеве положення тіла – точка В з координатами х і у, тобто(х, у). Знайдемо модуль переміщення тіла.

З точок А і В опустимо перпендикуляри на осі координат ОХ і OY (рис. 1.5).

Рух тіла на площині
Рис. 1.5. Рух тіла на площині.

Визначимо проекції вектора переміщення на осях ОХ і OY:

Sx = x – x0
Sy = y – y0

На рис. 1.5 видно, що трикутник АВС – прямокутний. З цього випливає, що при вирішення завдання може використовуватися теорема Піфагора, за допомогою якої можна знайти модуль вектора переміщення, так як

АС = sx
CB = sy

По теоремі Піфагора

S2 = Sx2 + Sy2

Звідки можна знайти модуль вектора переміщення, тобто довжину шляху тіла з точки А в точку В:

вектор переміщення матеріальної точки