Теорема Гаусса

Потік силових ліній через поверхню грає роль міри на образі поля. Щоб отримати якийсь закон за допомогою такої міри, потрібно вибрати загальний тип поверхні, а саме – замкнену поверхню (яка, очевидно, складається з ділянок незамкнених поверхонь і являє собою щось “більше”, більш загальне). Домовимося що вектор нормалі будемо направляти назовні замкнутої поверхні, – тоді “вхідні” ззовні силові лінії утворюють негативний потік, а ті силові лінії що “виходять” зсередини утворюють позитивний потік.

Очевидно, тут можуть бути дві ситуації:

а) всередині поверхні заряди відсутні, тоді силові лінії поля зовнішніх зарядів, що пронизують наскрізь замкнуту поверхню, створять “вхідний” негативний потік і точно такий же по модулю “вихідний” позитивний потік (адже геометричний зміст потоку – просто кількість силових ліній!), так що сумарний потік буде нульовим:

101

б) всередині замкнутої поверхні знаходяться електричні заряди, тоді їх поля, згідно з принципом суперпозиції, просто складаються, і загальна кількість силових ліній, які “виходять” назовні, прямопропорційно кількості k зарядів усередині поверхні (потік голок крізь поліетиленовий пакет прямопропорційний кількісті їжаків в пакеті):

12

Очевидно, за інтенсивність поля (густоту силових ліній) даного заряду “відповідає” те фізичне середовище, у якій воно знаходиться. У вакуумі коефіцієнт пропорційності між потоком поля крізь замкнену поверхню і кількістю зарядів всередині неї утворений фундаментальною електричною постійною ε0:

13

В діелектрику за рахунок протилежного поля поверхневих зарядів поле “вбудованого” заряду зменшується в раз:

14

Отриманий вираз носить назву теореми Гауса. У загальному випадку, розглянутому в розділі вищої математики – класичною теорією поля, формулювання теореми наступна: потік вектора поля крізь замкнену поверхню прямопропорційний кількості джерел поля всередині поверхні. Поле при цьому може бути будь-якої природи: гравітаційне, магнітне і т. п.