Рівняння стану ідеального газу. Ізопроцеси


Рівняння стану ідеального газу

Рівноважний стан даної маси газу при відсутності зовнішніх полів повністю визначено, якщо відомі тиск р, температура T і об’єм газу-V.

Рівняння, що зв’язує температуру, тиск і об’єм ідеального газу в стані теплової рівноваги, називають рівнянням стану газу.

Це рівняння було отримано експериментально, але його можна вивести з основного рівняння MKT:

За визначенням концентрація газу

де N — число молекул. Тоді

При незмінній масі газу число молекул в ньому постійне і добуток kN = const. Отже,

Співвідношення (2) і є рівняння стану ідеального газу. Його називають рівнянням Клапейрона. Ним користуються в тих випадках, коли маса газу і його хімічний склад не змінюються і потрібно порівняти два стани газу.

У рівнянні (1) число молекул N можна виразити через постійну Авогадро , де m — маса газу, M — його молярна маса. Тоді отримуємо

Тут — універсальна газова постійна. Вона має певний фізичний зміст.

Рівняння (3) — це теж рівняння стану ідеального газу. Його називають рівнянням Клапейрона—Менделєєва. Воно справедливо для будь-якої маси газу і пов’язує між собою параметри стану газу.

З рівняння стану випливають два наслідки:

З формули (1) отримаємо , звідки видно, що якщо різні гази займають при однакових температурах і однакових тисках рівні об’єми, то число N молекул у них теж однакове, тобто випливає встановлений дослідним шляхом закон Авогадро: при однакових тисках і температурах в однакових об’ємах будь-яких газів міститься однакова кількість молекул.
Нехай в посудині є суміш газів, кожен з яких при відсутності інших надає відповідно тиск … (парціальні тиску газів). Запишемо для кожного газу рівняння стану:

і складемо їх:

Отже, …, тобто тиск суміші газів дорівнює сумі парціальних тисків кожного з газів — це закон Дальтона, відкритий ним в 1801 р. експериментально.

Ізопроцеси


Протягом цієї сторінки ми будемо дотримуватися наступного припущення: маса і хімічний склад газу залишаються незмінними. Іншими словами, ми вважаємо, що:
• m = const, тобто немає витоку газу із посудини або, навпаки, припливу газу в посудину;
• µ = const, тобто частинки газу не відчувають будь-яких змін (скажімо, відсутність дисоціації — розпад молекул на атоми).

Ці дві умови виконуються в дуже багатьох фізично цікавих ситуаціях (наприклад,у простих моделях теплових двигунів) і тому цілком заслуговують окремого розгляду.

Якщо маса газу і його молярна маса фіксовані, то стан газу визначається трьома макроскопічними параметрами: тиском, об’ємом і температурою. Ці параметри пов’язані один з одним рівнянням стану (рівнянням Менделєєва — Клапейрона).
Термодинамічний процес (або просто процес) — це зміна стану газу з плином часу. В ході термодинамічного процесу змінюються значення макроскопічних параметрів — тиску, об’єму і температури.

Особливий інтерес представляють ізопроцеси — термодинамічні процеси, у яких значення одного з макроскопічних параметрів залишається незмінним. По черзі фіксуючи кожен з трьох параметрів, ми отримаємо три види ізопроцесів.

  1. Ізотермічний процес йде при постійній температурі газу: T = const.
  2. Ізобарний процес йде при постійному тиску газу: p = const.
  3. Ізохорний процес йде при постійному об’ємі газу: V = const.

Ізопроцеси описуються дуже простими законами Бойля — Маріотта, Гей-Люссака і Шарля. Давайте перейдемо до їх вивчення.

Ізотермічний процес

Нехай ідеальний газ здійснює ізотермічний процес при температурі T. В ході процесу змінюються лише тиск газу і його об’єм.

Розглянемо два довільних стани газу: в одному з них значення макроскопічних параметрів дорівнюють p1, V1, T, а в другому — p2, V2, T. Ці значення пов’язані рівнянням Менделєєва-Клапейрона

Як ми сказали з самого початку, маса m і молярна маса µ передбачаються незмінними. Тому праві частини виписаних рівнянь рівні. Отже, рівні і ліві частини:

Оскільки два стани газу були вибрані довільно, ми можемо заключити, що в ході ізотермічного процесу добуток тиску газу на його об’єм залишається постійним:

Дане твердження називається законом Бойля — Маріотта. Записавши закон Бойля — Маріотта у вигляді:

можна дати і таке формулювання: в ізотермічному процесі тиск газу обернено пропорційний його об’єму. Якщо, наприклад, при ізотермічному розширенні газу його об’єм збільшується в три рази, то тиск газу при цьому в три рази зменшується.

Як пояснити зворотну залежність тиску від об’єму з фізичної точки зору? При постійній температурі залишається незмінною середня кінетична енергія молекул газу, то просто кажучи, не змінюється сила ударів молекул об стінки посудини. При збільшенні об’єма концентрація молекул зменшується, і відповідно зменшується число ударів молекул в одиницю часу на одиницю площі стінки — тиск газу падає. Навпаки, при зменшення об’єму концентрація молекул зростає, їх удари сипляться частіше і тиск газу збільшується

Графіки ізотермічного процесу

Взагалі, графіки термодинамічних процесів прийнято зображати у таких системах координат:

  • pV -діаграма: вісь абсцис V , вісь ординат p;
  • TV-діаграма: вісь абсцис T, вісь ординат V ;
  • pT-діаграма: вісь абсцис T, вісь ординат p.

Графік ізотермічного процесу називається ізотермою. Ізотерма на pV -діаграмі — це графік обернено пропорційній залежності p=const/V. Такий графік є гіперболою (згадайте алгебру — графік функції y=k/x). Ізотерма-гіпербола зображена на рис. 1.

Рис. 1. Ізотерма на pV -діаграмі


Кожна ізотерма відповідає певному фіксованому значенню температури. Виявляється, що чим вище температура, тим вище лежить відповідна ізотерма на pV -діаграмі.

Справді, розглянемо два ізотермічних процеси, що здійснюються одним і тим же газом (рис. 2). Перший процес йде при температурі T1, другий — при температурі T2.

Рис. 2. Чим вище температура, тим вище ізотерма


Фіксуємо деяке значення об’єму V . На першій ізотермі йому відповідає тиск p1, на другій — p2 > p1. Але при фіксованому об’ємі тиск тим більше, чим вище температура (молекули починають сильніше бити по стінках). Значить, T2 > T1. В останніх двох системах координат ізотерма виглядає дуже просто: це пряма, перпендикулярна осі T (рис. 3):

Рис. 3. Ізотерми на V T – pT-діаграмах


Ізобарний процес

Нагадаємо ще раз, що ізобарний процес — це процес, що проходить при постійному тиску. В ході изобарного процесу змінюються лише об’єм газу і його температура.

Типовий приклад ізобарного процесу: газ знаходиться під масивним поршнем, який може вільно переміщатися. Якщо маса поршня M і поперечний переріз поршня S, то тиск газу весь час постійно і дорівнює:

де p0 — атмосферний тиск.

Нехай ідеальний газ здійснює ізобарний процес при тиску p. Знову розглянемо два довільних стану газу; на цей раз значення макроскопічних параметрів будуть рівні p, V1, T1 і p, V2, T2.

Випишемо рівняння стану:

Поділивши їх один на одного, отримаємо:

В принципі, вже й цього могло б бути достатньо, але ми підемо трохи далі. Перепишемо отримане співвідношення так, щоб в одній частині фігурували тільки параметри першого стану, а в іншій частині — тільки параметри другого стану (іншими словами, «рознесемо індекси» по різним частинам):

А звідси тепер — через довільності вибору станів! — отримуємо закон Гей-Люссака:

Іншими словами, при постійному тиску газу його об’єм прямо пропорційний температурі :

Чому об’єм зростає з ростом температури? При підвищенні температури молекули починають бити сильніше і піднімають поршень. При цьому концентрація молекул падає, удари стають рідше, так що в підсумку тиск зберігає колишнє значення.

Графіки ізобарного процесу

Графік изобарного процесу називається ізобарою. На V T-діаграмі изобара V = const · T є прямою лінією (рис. 4):

Рис. 4. Ізобара на V T-діаграмі


Пунктирна ділянка графіка означає, що в разі реального газу при досить низьких температурах модель ідеального газу (а разом з нею і закон Гей-Люссака) перестає працювати. Насправді, при зниженні температури частинки газу рухаються повільніше, і сили міжмолекулярної взаємодії роблять все більш істотний вплив на їх рух (аналогія: повільний м’яч легше зловити, ніж швидкий). Ну а при дуже низьких температурах гази зовсім перетворюються в рідині.

Розберемося тепер, як міняється положення ізобари при зміні тиску. Виявляється, що чим більше тиск, тим нижче йде изобара на V T-діаграмі. Щоб переконатися в цьому, розглянемо дві ізобари з тисками p1 і p2 (рис. 5)

Рис. 5. Чим нижче ізобара, тим більше тиск


Зафіксуємо деяке значення температури T. Ми бачимо, що V2 < V1. Але при фіксованій температурі об’єм тим менше, чим більше тиск (закон Бойля — Маріотта!). Стало бути, p2 > p1.

В останніх двох системах координат ізобара є прямою лінією, перпендикулярною осі p (рис. 6):

Рис. 6. Ізобари на pV – і pT-діаграмах


Ізохорний процес

Ізохорний процес, нагадаємо, — це процес, що проходить при постійному об’ємі. При ізохорному процесі змінюються тільки тиск газу і його температура. Ізохорний процес уявити собі дуже просто: це процес, що йде в жорсткій посудині фіксованого об’єму (або в циліндрі під поршнем, коли поршень закріплений).

Нехай ідеальний газ здійснює ізохорний процес в посудині об’ємом V . Знову-таки розглянемо два довільних стани газу з параметрами p1, V, T1 і p2, V, T2. Маємо:

Ділимо ці рівняння один на одного:

Як і при виведенні закону Гей-Люссака, «розносимо» індекси в різні частини:

Зважаючи довільності вибору станів ми приходимо до закону Шарля:

Іншими словами, при постійному об’ємі газу його тиск прямо пропорційний температурі:

Збільшення тиску газу фіксованого об’єму при його нагріванні — річ абсолютно очевидна з фізичної точки зору. Ви самі це легко поясните.

Графіки ізохорного процесу

Графік ізохорного процесу називається ізохорою. На pT-діаграмі ізохора p = const · T є прямою лінією (рис. 7):

Рис. 7. Ізохора на pT-діаграмі


Зміст пунктирної ділянки той же: неадекватність моделі ідеального газу при низьких температурах.

Далі, чим більше об’єм, тим нижче йде изохора на pT-діаграмі (рис. 8):

Рис. 8. Чим нижче изохора, тим більше об’єм


Доказ аналогічно попередньому. Фіксуємо температуру T і бачимо, що p2 < p1. Але при фіксованій температурі тиск тим менше, чим більше об’єм (знову закон Бойля — Маріотта). Стало бути, V2 > V1.

В останніх двох системах координат ізохора є прямою лінією, перпендикулярною осі V (рис. 9):

Рис. 9. Ізохори на pV – і V T-діаграмах

Закони Бойля — Маріотта, Гей-Люссака і Шарля називаються також газовими законами. Ми вивели газові закони з рівняння Менделєєва — Клапейрона. Але історично усе було навпаки: газові закони було встановлено експериментально, і набагато раніше. Рівняння стану з’явилося згодом як їх узагальнення