Рівняння гармонійної хвилі

Виведемо рівняння, яке дозволить визначити зсув кожної точки середовища у будь-який момент часу при поширенні гармонійної хвилі. Зробимо це на прикладі хвилі, що біжить по довгому тонкому гумовому шнурі.

Вісь ОХ направимо вздовж шнура, а початок відліку пов’яжемо з лівим кінцем шнура. Зміщення коливної точки шнура від положення рівноваги позначимо літерою s. Для опису хвильового процесу потрібно знати зміщення кожної точки шнура в будь-який момент часу. Отже, треба знати вид функції

s = s (х, t).

Змусимо кінець шнура (точка з координатою х = 0) здійснювати гармонічні коливання з циклічною частотою ω. Коливання цієї точки будуть відбуватися за законом:

s = sm sin ωt, (6.3)

якщо початкову фазу коливань вважати рівною нулю. Тут sm — амплітуда коливань (рис. 6.10, а).

Коливання поширюються уздовж шнура (осі ОХ) зі швидкістю υ і в довільну точку шнура з координатою х прийдуть через час

Ця точка почне здійснювати гармонічні коливання з частотою ω, але з запізненням на час τ (рис. 6.10, б). Якщо знехтувати загасанням хвилі у міру її поширення, то коливання в точці х будуть відбуватися з тією ж амплітудою sm, але з іншою фазою:

Це і є рівняння гармонійної хвилі, що поширюється в додатному напрямку осі ОХ.

Використовуючи рівняння (6.5) можна визначити зміщення різних точок шнура в будь-який момент часу.