Рівнозмінний прямолінійний рух

Рівномірний прямолінійний рух – це приватний частий нерівномірного руху.

Нерівномірний рух – це рух, при якому тіло (матеріальна точка) за рівні проміжки часу здійснює неоднакові переміщення. Наприклад, міський автобус рухається нерівномірно, так як його рух складається в основному з розгонів і гальмувань.

Рівнозмінний рух – це рух, при якому швидкість тіла (матеріальної точки) за будь-які рівні проміжки часу змінюється однаково.

Прискорення тіла при рівнозмінному русі залишається постійним за модулем і напрямом (a = const).

Рівнозмінний рух може бути рівноприскореним або рівнозповільненим.

Рівноприскорений рух – це рух тіла (матеріальної точки) з позитивним прискоренням, тобто при такому русі тіло розганяється з незмінним прискоренням. У разі рівноприскореного руху модуль швидкості тіла з плином часу зростає, напрям прискорення збігається з напрямком швидкості руху.

Рівнозповільнений рух – це рух тіла (матеріальної точки) з негативним прискоренням, тобто при такому русі тіло рівномірно сповільнюється. При рівносповільненому русі вектори швидкості та прискорення протилежні, а модуль швидкості з плином часу зменшується.

У механіці будь-який прямолінійний рух є прискореним, тому уповільнений рух відрізняється від прискореного лише знаком проекції вектора прискорення на обрану вісь системи координат.

Середня швидкість змінного руху визначається шляхом ділення переміщення тіла на час, протягом якого це переміщення було виконане. Одиниця вимірювання середньої швидкості – м/с.

vcp = s / t

Миттєва швидкість – це швидкість тіла (матеріальної точки) в даний момент часу або в даній точці траєкторії, тобто межа, до якого прагне середня швидкість при нескінченному зменшенні проміжку часу Δt:

Миттєва швидкість

Вектор миттєвої швидкості рівнозмінного руху можна знайти як першу похідну від вектора переміщення за часом:

=

Проекція вектора швидкості на вісь ОХ:

vx = x'

це похідна від координати за часом (аналогічно отримують проекції вектора швидкості на інші координатні осі).

Прискорення – це величина, яка визначає стрімкість зміни швидкості тіла, тобто межа, до якого прагне зміна швидкості при нескінченному зменшенні проміжку часу Δt:

Прискорення

Вектор прискорення рівнозмінного руху можна знайти як першу похідну від вектора швидкості за часом або як другу похідну від вектора переміщення за часом:

 = ' = "

Враховуючи, що 0 – швидкість тіла в початковий момент часу (початкова швидкість), – швидкість тіла в даний момент часу (кінцева швидкість), t – проміжок часу, протягом якого відбулася зміна швидкості, формула прискорення буде наступною:

формула прискорення

Звідси формула швидкості рівнозмінного руху в будь-який момент часу:

 = 0 + t

Якщо тіло рухається прямолінійно вздовж осі ОХ прямолінійної декартової системи координат, збігається за напрямом з траєкторією тіла, то проекція вектора швидкості на цю вісь визначається за формулою:

vx = v0x ± axt

Знак «-» (мінус) перед проекцією вектора прискорення відноситься до рівнозповільненого руху. Аналогічно записуються рівняння проекцій вектора швидкості на інші осі координат.

Так як при рівнозмінному русі прискорення є постійним (a = const), то графік прискорення – це пряма, паралельна осі 0t (осі часу, рис. 1.15).


Залежність прискорення тіла від часу

Рис. 1.15. Залежність прискорення тіла від часу.

Залежність швидкості від часу – це лінійна функція, графіком якої є пряма лінія (рис. 1.16).


Залежність швидкості тіла від часу

Рис. 1.16. Залежність швидкості тіла від часу.

Графік залежності швидкості від часу (рис. 1.16) показує, що

формула обчислення прискорення

При цьому переміщення чисельно дорівнює площі фігури 0abc (рис. 1.16). Площа трапеції дорівнює добутку півсуми довжин її основ на висоту. Основи трапеції 0abc чисельно рівні:

0a = v0
bc = v

Висота трапеції дорівнює t. Таким чином, площа трапеції, а значить, і проекція переміщення на вісь ОХ дорівнює:

Проекція переміщення на вісь ОХ

У разі рівнозповільненого руху проекція прискорення негативна і у формулі для проекції переміщення перед прискоренням ставиться знак «–» (мінус).

Загальна формула для визначення проекції переміщення:

Загальна формула для визначення проекції переміщення

Графік залежності швидкості тіла від часу при різних прискореннях показаний на рис. 1.17. Графік залежності переміщення від часу при v0 = 0 показаний на рис. 1.18.


Залежність швидкості тіла від часу для різних значень прискорення

Рис. 1.17. Залежність швидкості тіла від часу для різних значень прискорення.


Залежність переміщення тіла від часу

Рис. 1.18. Залежність переміщення тіла від часу.

Швидкість тіла в даний момент часу t1 дорівнює тангенсу кута нахилу між дотичною до графіком і віссю часу v = tg α, а переміщення визначають за формулою:

Формула переміщення по осі Х

Якщо час руху тіла невідомо, можна використовувати іншу формулу переміщення, вирішуючи систему з двох рівнянь:

Формула переміщення з системою двох рівнянь

Формула скороченого множення різниці квадратів допоможе нам вивести формулу для проекції переміщення:

Формули скороченого множення різниці квадратів

Так як координата тіла в будь-який момент часу визначається сумою початкової координати і проекції переміщення, то рівняння руху тіла буде виглядати наступним чином:

рівняння руху тіла

Графіком координати x(t) також є парабола (як і графік переміщення), але вершина параболи в загальному випадку не збігається з початком координат. При аx < 0 і х0 = 0 гілки параболи спрямовані вниз (рис. 1.18).