Квантові постулати Бора

Квантові постулати Бора – це два основних допущення, введені Н.Бором для пояснення стійкості атома і спектральних закономірностей (в рамках моделі атома Резерфорда).

Планетарна модель атома Резерфорда дозволила пояснити результати дослідів по розсіюванню α-частинок речовини, але вона не здатна пояснити факт існування атома і його стійкість.

Згідно з планетарною моделлю електрони атома повинні рухатися навколо нерухомого ядра. Рухаючись навколо ядра з доцентровим прискоренням під дією сили тяжіння до ядра, електрон, як і всякий електричний заряд що прискорено рухається, повинен випромінювати електромагнітні хвилі з частотою, рівній частоті обертання електрона навколо ядра.

Енергія електрона в атомі має при цьому безперервно зменшуватися за рахунок випромінювання. Сам електрон повинен з кожним обертом наближатися по спіралі до ядра і впасти на нього під дією електричної сили тяжіння. При цьому атом втратить всю електронну оболонку, а також властиві йому фізичні та хімічні властивості. Крім того, атом повинен втратити спектр випромінювання частоти, тобто атом повинен давати випромінювання з безперервним (суцільним) спектром частот.

Ці результати, отримані з допомогою класичної механіки та електродинаміки знаходяться в різкому протиріччі з дослідом, який показує, що

  • Атоми є досить стійкими системами і в збудженому стані можуть існувати необмежено довго, не випромінюючи при цьому електромагнітні хвилі
  • Спектр випромінювання атома є лінійчатим (дискретним) – утвореним з окремих ліній (від латинського discretus – переривчастий, що складається з окремих значень)

Все це свідчить про те, що закони класичної фізики застосувати до електронів в атомах не можна, тому необхідні нові уявлення про механізм випромінювання і поглинання атомами електромагнітних хвиль. В основі сучасної теорії атома лежить квантова механіка – теорія, що встановлює спосіб опису і закони руху мікрочастинок (елементарних частинок, атомів, молекул, атомних ядер) та їхніх систем (наприклад, кристалів), а також зв’язок величин, які характеризують частинки і системи, з фізичними величинами, вимірюваними дослідним шляхом.

У 1913 році датський фізик Нільс Бор (1885 – 1962) ввів ідеї квантової теорії в ядерну модель атома Резерфорда і розробив теорію атома водню, яка підтвердилася всіма відомими тоді дослідами. Бор сформулював у вигляді постулатів основні положення нової теорії, які накладали лише деякі обмеження на допустимі класичній фізиці рухи. Проте послідовної теорії атома Бора не дав. Згодом теорія Бора була включена як окремий випадок в квантову механіку. В основі теорії Бора лежать два постулати.

Перший постулат Бора: постулат стаціонарних станів

Атомна система може перебувати тільки в особливих стаціонарних, або квантових, станах, кожному з яких відповідає певна енергія En. В стаціонарному стані атом не випромінює.

Другий постулат Бора: правило частот

Випромінювання світла відбувається при переході атома із стаціонарного стану з більшою енергією Ek в стаціонарний стан з меншою енергією En. Енергія випроміненого фотона дорівнює різниці енергій стаціонарних станів:

hvkn = Ek – En

Частота випромінювання дорівнює:

vkn = (Ek – En) / h = (Ek / h) – (En / h)

Або, довжина хвилі випромінювання λ дорівнює:

1 / λkn = (1 / hc) (Ek – En)

Де h – стала Планка, c – швидкість світла у вакуумі.

Якщо Ek > En, то відбувається випромінювання фотона, якщо Ek < En, то відбувається поглинання фотона, при якому атом переходить із стаціонарного стану з меншою енергією в стаціонарний стан з більшою енергією. Таким чином, для кожного атома є ряд певних дискретних значень енергії, якими він може володіти. Фізичні величини, наприклад енергія і імпульс, які можуть приймати лише дискретні (квантові) значення, носять назву квантовані фізичні величини (квантування фізичних величин). При цьому енергетичні рівні атома – це можливі значення енергії атома.

Правило квантування орбіт дозволяє визначити радіуси стаціонарних орбіт:

mvnrn = nh’

де n = 1, 2, 3…, m – маса електрона, rn – радіус n-ї орбіти, vn – швидкість електрона на цій орбіті.

Число n – позитивне число, яке називається головне квантове число.

Величина (mvn)rn – момент імпульсу електрона.

h’ – це величина, яка дорівнює:

h’ = h/2π = 1,05445887•10-34 Дж•с

де h – стала Планка.

Головне квантове число визначає номер орбіти, по якій може обертатися електрон.

Свої постулати Н.Бор застосував для побудови теорії найпростішої атомної системи – атома водню, який складається з ядра – протона й одного електрона. Ця теорія також застосовується для воднеподібних іонів, тобто атомів з зарядом ядра Ze і які втратили всі електрони, крім одного (наприклад, Li2+, Be3+ тощо). У припущенні, що електрон рухається по круговій орбіті, постулати Бора дозволяють знайти радіуси rn стаціонарних, можливих орбіт електрона. На електрон діє кулонівська сила:

Fk = (1 / 4πε0) (ε2 / rn2)

Де е – модуль заряду електрона, рівний заряду ядра, ε0 = 8,85418782 * 10-12 Ф/м – електрична стала в одиницях СІ.

Кулонівська сила надає електрону на орбіті доцентрове прискорення:

aдц = (vn2) / rn

Згідно другого закону Ньютона:

Fk = maдц

Тому

(mvn2) / rn = e2 / (4πε0rn2)

Або

mvn2rn = e2 / (4πε0)

Використовуючи правило квантування орбіт mvnrn = nh’, можна отримати вирази для можливих радіусів орбіт. Виключаючи швидкість vn з попереднього виразу, отримаємо:

rn = 4πε0n2h’ / me2 (так як h’ = h / 2π)

Таким чином, радіуси орбіт електрона в атомі водню прямо пропорційні квадратам головного квантового числа n.

Найменший радіус орбіти при n = 1, тобто радіус першої орбіти в атомі водню дорівнює:

r1 = 4πε0h’ / me2 = 0,528 * 10-10 м = 0,528 Å

Радіус першої орбіти в атомі водню носить назву перший Борівський радіус і служить одиницею довжини в атомній фізиці.

Повна енергія Е електрона в атомі водню, згідно механіки Ньютона, дорівнює сумі кінетичної енергії Еk і потенційної енергії Еп взаємодії електрона з ядром:

E = ЕkЕп = (mvn2 / 2) – (e2 / 4πε0rn)

Потенційна енергія електрона в атомі негативна:

Еп = – (e2 / 4πε0rn)

Так як нульовий рівень відліку береться на нескінченності (рис. 1.3), а по мірі наближення електрона до ядра його потенційна енергія зменшується. Взаємодіючі частинки – ядро і електрон – мають заряди протилежних знаків.

Потенційна енергія електрона в атомі

Рис. 1.3. Потенційна енергія електрона в атомі.

Підставляючи значення швидкості

vn2 = – e2 / 4πε0mrn

у вираз повної енергії, отримаємо:

E = (m / 2) (e2 / 4πε0mrn) – (e2 / 4πε0rn)

Підставляючи в цю формулу вираз для радіусів орбіт, отримаємо енергетичні рівні електрона в атомі водню (значення енергій стаціонарних станів атома):

En = -(1 /(4πε0)2) me4 / 2h’2n2 = – (me4 / 8h2ε02) * (1 / n2), n = 1,2,3…

Енергія Еn електрона в атомі водню залежить від головного квантового числа n, що визначає енергетичні рівні електрона в атомі водню.

Основний енергетичний стан атома (нормальний стан атома) – це
енергетичний рівень при n = 1.

Значення енергії, відповідно першого (нижчого) енергетичного рівня в атомі водню дорівнює:

E1 = -(1 /(4πε0)2) me4 / 2h’2λ = -2,485 * 10-19 Дж = -13,53 еВ

У цьому стані атом може перебувати скільки завгодно довго. Для того щоб іонізувати атом водню, що йому потрібно передати енергію 13,53 еВ, яка називається енергія іонізації.

Енергетичні рівні при n > 1 – це збуджені енергетичні стани
(збуджені стани атома). Збуджений стан атома є менш стійким, ніж основний стан. Час життя атома в цьому стані має порядок 10-8 секунд. За цей час електрон встигає зробити близько ста мільйонів обертів навколо ядра.

При переході електрона з віддаленої від ядра стаціонарної k-орбіти на найближчу n-ну орбіту атом випромінює фотон, енергія якого hvnk відповідно до другого постулату Бора визначається:

hvkn = Ek – En = -(1 / (4πε0)2) * (me4 / 2h’2) * [(1 / n2) – (1 / k2)] = (me4 / 8h2ε02) * [(1 / n2) – (1 / k2)]

Частота випромінювання атома водню:

vkn = (1 / (4πε0)2) * (me4 / h’3) * [(1 / n2) – (1 / k2)] = R[(1 / n2) – (1 / k2)]

Де

R = (me4 / (4πε0)2) * 4πh’3) =(me4 / 8h3ε02) = 3,288 * 1015 c-1– стала Рідберга

Стала Рідберга визначається через стала Планка, масу і заряд електрона.

Довжина хвилі випромінювання визначається співвідношенням:

1 / λnk = vnk / c = (me4 / 8ε02h3c) * [(1 / n2) – (1 / k2)] = Rc[(1 / n2) – (1 / k2)]

Де

Rc = R / c = 1,0974 * 107 му-1 – також стала Рідберга

с = 3*108 м/с – швидкість світла у вакуумі.

Теоретичне значення R збігається з експериментальним значенням, отриманим з спектроскопічних вимірювань.

Енергія зазвичай вимірюється в электронвольтах (еВ). Електронвольт – це значення енергії, яку набуває електрон, пройшовши прискорює різниця потенціалів у 1 В:

1 еВ = 1,6 * 10-19 Кл * 1В = 1,6 * 10-19 Дж