Гармонічні коливання

Найпростішим видом коливань є гармонічні коливання — коливання, при яких зміщення коливної точки від положення рівноваги змінюється з часом за законом синуса або косинуса.

Так, при рівномірному обертанні кульки по колу його проекція (тінь в паралельних променях світла) здійснює на вертикальному екрані (рис. 1) гармонічний коливальний рух.

Рис. 1

Зміщення від положення рівноваги при гармонічних коливаннях описується рівнянням (його називають кінематичним законом гармонічного руху) виду:

де х — зміщення — величина, що характеризує положення коливної точки в момент часу t відносно положення рівноваги і вимірюється відстанню від положення рівноваги до положення точки в заданий момент часу; А — амплітуда коливання — максимальне зміщення тіла з положення рівноваги; Т — період коливань — час здійснення одного повного коливання; тобто найменший проміжок часу, по закінченні якого повторюються значення фізичних величин, що характеризують коливання; φ0 — початкова фаза;

— фаза коливання в момент часу t. Фаза коливань — це аргумент періодичної функції, який при заданій амплітуді коливань визначає стан коливальної системи (зміщення, швидкість, прискорення) тіла в будь-який момент часу.

Якщо в початковий момент часу t0 = 0 коливальна точка максимально зміщена від положення рівноваги, то φ0 = 0, а зміщення точки від положення рівноваги змінюється за законом

Якщо коливна точка при t0 = 0 знаходиться в положенні стійкої рівноваги, то зміщення точки від положення рівноваги змінюється за законом

Величину ν, зворотню періоду і що дорівнює числу повних коливань, здійснюваних за 1 с, називають частотою коливань:

Якщо за час t тіло здійснює N повних коливань, то

Величину , яка показує, скільки коливань здійснює тіло за с, називають циклічною (круговою) частотою.

Кінематичний закон гармонійного руху можна записати у вигляді:

Графічно залежність зміщення коливної точки від часу зображується косинусоїдою (або синусоїда).

На малюнку 2, а представлений графік залежності від часу зміщення коливної точки від положення рівноваги для випадку φ0 = 0, тобто x = Acos(ωt)

Рис. 2

З’ясуємо, як змінюється швидкість коливної точки з часом. Для цього знайдемо похідну за часом від цього виразу:

де — амплітуда проекції швидкості на вісь х.

Ця формула показує, що при гармонічних коливаннях проекція швидкості тіла на вісь х теж змінюється за гармонічним законом з тієї ж частотою, з іншою амплітудою і випереджає по фазі зміщення на π/2 (рис. 2, б).

Для з’ясування залежності прискорення ax(t) знайдемо похідну по часу від проекції швидкості:

де — амплітуда проекції прискорення на вісь х.

При гармонічних коливаннях проекція прискорення випереджає зсув по фазі на k (рис. 2, в).

Аналогічно можна побудувати графіки залежностей

Враховуючи, що Acos(ωt) = x, формулу для прискорення можна записати

тобто при гармонічних коливаннях проекція прискорення прямо пропорційна зміщенню і протилежна йому за знаком, тобто прискорення спрямоване в бік, протилежний зміщенню.

Так, проекція прискорення — це друга похідна від зсуву , то отримане співвідношення можна записати у вигляді:

Останнє рівняння називають рівнянням гармонічних коливань.

Фізичну систему, в якій можуть існувати гармонічні коливання, називають гармонічним осцилятором, а рівняння гармонічних коливань — рівняння гармонічного осцилятора.